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Tecnología y Ciencias del Agua
, vol. VIII, núm. 3, mayo-junio de 2017, pp. 127-142
Aragón-Hernández & Bladé,
Modelación numérica de flujo mixto en conductos cerrados con esquemas en volúmenes finitos
ISSN 2007-2422
ranura es un parámetro significativo y una elec-
ción óptima del mismo determinará la calidad
de los resultados. Es importante destacar que al
implementar este método, la ranura no debería
aumentar el área de la sección transversal ni
el radio hidráulico del conducto en presión
(Chaudhry, 1987), pero en la práctica se permite
utilizar ranuras con un ancho de hasta 0.1
D
,
donde
D
es el diámetro de la tubería (Trajkovic
et al
., 1999).
Debido a que se utiliza un único sistema
de ecuaciones, no hay necesidad de rastrear
la propagación del movimiento de la interfase
entre el flujo en lámina libre y flujo en presión
(Li & McCorquodale, 1999; Vasconcelos
et al
.,
2006), el cual puede ser capturado como ondas
de choque o frentes de onda con los métodos
directos (Toro, 1999).
Esquema numérico
Para la resolución de las ecuaciones de Saint
Venant en una dimensión se utiliza el método de
los volúmenes finitos. El método de volúmenes
finitos se basa en las ecuaciones de gobierno
escritas en forma integral sobre una celda o
volumen finito. El dominio de estudio o malla
de cálculo se discretiza en un dominio espacial
x
en celdas de longitud
Δ
x
y un dominio temporal
t
, en intervalos de tiempo
Δ
t
. Las variables hi-
dráulicas utilizadas (
A
,
Q
) representan el valor
medio de las variables dependientes en cada
celda
i
, centradas en el nodo
x
i
y se extienden
de
i
– ½ a
i
+ ½. De esta forma, el esquema nu-
mérico para la solución de la ecuación (3) viene
dado por:
U
i
n
+
1
=
U
i
n
−
t
x F
i
+
1/2
*
−
F
i
-1/2
*
(
)
+
t
x H
i
*
(10)
Donde
U
n
i
y
U
i
n+
1
son los valores medios del
vector
U
en la celda
i
en el instante de tiempo
t
n
y
t
n
+1
, respectivamente;
F
*
1
±
1/2
es el flujo numérico
en las interceldas, y
H
*
i
es un valor representa-
tivo del promedio del término fuente
H
en la
celda
i
en el instante de tiempo
t
n
y
t
n
+1
.
F
*
1
±
1/2
y
H
*
i
en general dependen de las celdas contiguas
a la celda
i
en los instantes de tiempo
t
n
y
t
n
+1
.
El método de Godunov es un esquema con-
servativo que utiliza una discretización descen-
trada en volúmenes finitos, cuya particularidad
es que el flujo numérico
F
*
1
±
1/2
entre dos celdas
i
,
e
i
+ 1 se obtiene de la solución de un problema
de Riemann local entre dos estados constantes
U
n
i
y
U
i
n+
1
. El problema de Riemann tiene una
estructura compleja y encontrar su solución es
costoso, por lo cual diversos autores (Harten,
Lax, & Van Leer, 1983; Osher & Solomon, 1982;
Roe, 1981) desarrollaron métodos para encon-
trar una respuesta aproximada del problema de
Riemann, conocidos como
aproximate
Riemann
solvers
(Toro, 1999). Uno de ellos es el Riemann
solver
de Roe, empleado en este trabajo, el cual
lleva a un esquema conservativo denominado
método de Godunov con el Riemann
solver
de Roe; este esquema es de primer orden de
precisión.
En zonas cercanas a fuertes gradientes o
donde se presentan discontinuidades de la
solución, los esquemas de primer orden son
disipativos (amplitud de la onda menor a la de
la solución exacta), mientras que los esquemas
de segundo orden son dispersivos (producen
oscilaciones en la solución). Por esta razón, se
necesitan esquemas de segundo orden o mayor,
que no presenten dispersión en las discontinui-
dades, como los esquemas TVD (
Total Variation
Dimishing
). Un esquema así se puede obtener
a partir de un esquema de primer orden más
un esquema de segundo orden. Para evitar la
dispersión del esquema de segundo orden se
debe limitar el flujo numérico del mismo; en este
trabajo se utiliza el esquema WAF (
Weight Avera-
ged Flux
). Así, el esquema numérico WAF-TVD
resultante se puede escribir como un esquema
de primer orden más unas correcciones de se-
gundo orden, para conseguir que la precisión
sea de alta resolución (Bladé, 2005):
F
i
+
1/2
*
=
1
2
F
i
+
F
i
+
1
(
)
- 1
2
j j
e
j
+
j
=
1
2
j
signo
j
( )
e
j
j
=
1
2
+
+
1
2
j j
1-
j
(
)
e
j
+
j
=
1
2
j
signo
j
( )
1-
j
(
)
e
j
j
=
1
2
(11)
