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Tecnología y Ciencias del Agua
, vol. VIII, núm. 3, mayo-junio de 2017, pp. 127-142
Aragón-Hernández & Bladé,
Modelación numérica de flujo mixto en conductos cerrados con esquemas en volúmenes finitos
ISSN 2007-2422
Donde
r
j
es un indicador del salto que sufre
la solución a través de una onda en el contorno
aguas arriba del elemento de volumen respecto
del mismo salto en el otro contorno. Una posible
expresión es el cociente entre contribuciones
de la onda
j
y el término que hace que el es-
quema sea de segundo orden, ya que éstas son
precisamente las que provocan las oscilaciones
espurias, es:
r
j
( )
i
+
1 2
=
j j
1
j
(
)
i
+
1 2
s
j j
1
j
(
)
i
+
1 2
(27)
Por otra parte, para el tratamiento del térmi-
no independiente
H
, es conveniente la descom-
posición del mismo en función de los términos
de fricción y de los términos de la pendiente del
fondo, como:
H
=
H
1
+
H
2
=
0
gI
2
+
gA S
0
S
f
(
)
(28)
H
1
=
0
gI
2
+
gAS
0
(29)
H
2
=
0
gAS
f
(30)
En la ecuación (10),
H
*
i
es la expresión numé-
rica del término independiente
H
y representa
el término independiente integrado en todo el
volumen finito; por lo tanto, considerando (28),
se tiene:
H
i
*
=
H
i
*1
+
H
i
*2
(31)
El término
H
i
*2
, que incluye los términos de
fricción, se puede considerar en una discretiza-
ción centrada simple como:
H
i
*2
=
x
i
H
i
2,
n
(32)
Mientras que según Vázquez-Cendón (1999),
H
i
*1
, los términos de la pendiente del fondo
deben discretizarse de acuerdo con el esquema
numérico utilizado; para satisfacer la propiedad
de conservación exacta puede ser dividido en
dos contribuciones en las fronteras del volumen
finito y descompuesto sobre los vectores propios
de la matriz jacobiana
J
de la siguiente manera:
H
i
1*
=
H
i
1/2
1*
+
H
i
+
1/2
1*
(33)
Donde:
H
i
,
i
±
1/2
1*
=
1
2
1 signo
j
( )
1-
j
1-
j
(
)
(
)
(
)
e
j
j
=
1
2
i
±
1/2
(34)
Los coeficientes
1,2
, los incrementos de
calado o carga de presión
Δ
h
, de las fuerzas
de presión
Δ
I
1
y de la elevación del fondo del
colector
Δ
z
quedan definidos como:
1
=
1
2
c gA z
+
h
(
)
+
1
2
c g I
1
2
=
1
(35)
h
=
h
i
+
1
-
h
i
(36)
I
1
=
I
1
i
+
1
−
I
1
i
(37)
z
=
z
i
+
1
−
z
i
(38)
Los esquemas numéricos como los anteriores
son esquemas explícitos que tienen un coste
computacional pequeño en cada paso de tiem-
po, pero para ser estables necesitan trabajar con
incrementos de tiempo también pequeños y de-
ben cumplir con la condición de estabilidad de
Courant-Friedrichs-Lewy (Chaudhry, 1993). La
condición significa que ninguna onda presente
en el dominio viaja más de una distancia
Δ
x
en
un tiempo
Δ
t
. Así, para el esquema numérico
se tiene:
t
x
u
±
c
(39)
