CAPÍTULO 7. AJUSTE CON MODELOS ESTADÍSTICOS
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−6 −4 −2 0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
logistic(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−6 −4 −2 0 2 4 6
x
logit(x)
Figura 7.6: Las funciones
logística
y su inversa
logit
dominio de todos los números reales, a los valores comprendidos en el inter-
valo entre 0 y 1, y viceversa. Unas funciones que sirven a este propósito y que
son ampliamente usadas, son la función
logística
y su inversa, la función
logit
,
cuyas definiciones respectivas se muestran a continuación, y cuyos gráficos se
muestran en la Fig. 7.6.
logistic
(
t
) =
e
t
1
+
e
t
=
1
1
+
e
−
t
(7.13)
logit
(
r
) =
log
r
1
−
r
=
log
(
r
)
−
log
(
1
−
r
) =
−
log
1
r
−
1
(7.14)
¿Cómo intervienen estas expresiones en el tema? Primeramente observe-
mos en la ecuación 7.12 que la probabilidad
p
depende de
x
. Pero, mientras
que la variable
x
toma valores
arbitrarios
en el espacio de los números reales,
por ejemplo 15.5, 21.8, 28.1, etc.,
p(x)
toma valores entre 0 y 1, de modo que
se necesita realizar un mapeo del tipo establecido por la función
logística
de la
ecuación 7.13. En efecto, el mapeo en cuestión es el siguiente:
p
(
x
) =
logistic
(
β
0
+
β
1
x
) =
e
β
0
+
β
1
x
1
+
e
β
0
+
β
1
x
(7.15)
y, manipulando algebráicamente la ecuación se puede llegar a:
log
p
(
x
)
1
−
p
(
x
)
=
β
0
+
β
1
x
logit
(
p
(
x
)) =
β
0
+
β
1
x
(7.16)
