CAPÍTULO 5. ESCRITURA DE FUNCIONES
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x
n
+
1
=
x
n
−
1
f
0
(
x
n
)
f
(
x
n
)
(5.8)
donde,
x
n
+
1
es el valor de
x
para la siguiente iteración, calculado a partir del
valor anterior
x
n
, y
f
0
(
x
n
)
, es el valor de la derivada de la función en
x
n
.
Si lo que se tiene, en vez de
f
(
x
)
, es un sistema de
m
ecuaciones, cada una con
m
variables, representado probablemente por el vector
x
, de dimensión
m
; y
el sistema entonces representado por la función vectorial
F
(
x
)
, en este caso, el
método de Newton-Raphson, se formula así:
x
n
+
1
=
x
n
−
[
J
F
(
x
n
)]
−
1
×
F
(
x
n
)
(5.9)
Nótese que aquí, en vez de usar la derivada de la función se está empleando
J
F
(
x
n
)
, que es la matriz Jacobiana de la función evaluada en
x
n
, y cuya defini-
ción se verá más adelante.
En la forma que se presenta en la ecuación 5.9, el método implica la inver-
sión de una matriz y varias operaciones más. Numéricamente, es más conve-
niente, por medio de algunas manipulaciones algebraicas, transformar dicha
formulación a la siguiente:
J
F
(
x
n
)
×
∆
x
n
+
1
=
−
F
(
x
n
)
(5.10)
donde,
∆
x
n
+
1
=
x
n
+
1
−
x
n
. Así formulado ahora el método, como se ha mos-
trado en la ecuación 5.10, el problema consiste en resolver el sistema de ecua-
ciones lineales, para encontrar el vector de
incrementos
, desconocido
∆
x
n
+
1
.
Dado que la matriz Jacobiana
se usa
en vez la derivada en el caso del método
para un sistema de ecuaciones (compárese las ecuaciones 5.8 y 5.9), como era
de esperarse, ella está definida en términos de las distintas derivadas parciales
de
F
(
x
)
:
J
F
(
x
) =
∂
F
1
∂
x
1
· · ·
∂
F
1
∂
x
m
...
. . .
...
∂
F
m
∂
x
1
· · ·
∂
F
m
∂
x
m
(5.11)
Afortunadamente, ni el cálculo de la matriz Jacobiana, ni la solución del
sistema de ecuaciones o la inversión de la matriz, se tienen que hacer partiendo
de cero; existen en R, las funciones y las bibliotecas apropiadas para resolver
cada uno de estos asuntos.
5.5.5. Implementación del método en R
El lenguaje provee directamente la mayoría de la operaciones que se requie-
ren para implementar el método, excepto por el cálculo de la matriz jacobiana.
